Die kosmologische Naturkonstante 10 hoch 120

Alfred Gierer entwickelt in seinem Buch "Die Physik, das Leben und die Seele" im Kapitel "Logisches Denken, mögliches Wissen und Grenzen der Entscheidbarkeit" (S. 37-64) seine "finitistische Erkenntnistheorie", die auf einer kosmologischen Naturkonstante mit dem Wert 10¹²⁰ beruht.

Er gibt das Alter der Welt in "Elementarzeiten" an, deren Größe er aus der Heisenbergschen Unschärferelation für Energie E und Zeit t berechnet:

Die Stabilität (Langlebigkeit) von Partikeln wie Proton, Neutron, Elektron erfordert dass ihre Energieunschärfe nicht größer als das Äquivalent E=mc² ihrer Masse ist, da sie sich sonst in andere Teilchen umwandeln können.

Mit dem Proton ergibt sich "in runden Zahlen" 10⁴⁰ als Alter der Welt in Elementarzeiten. Aus astrophysikalischen Messungen der mittleren Dichte der Materie im Weltall schätzt man die Gesamtzahl der Partikeln im Weltall auf 10⁸⁰.
Das Produkt dieser beiden Größen ergibt die dimensionslose Zahl

N = 10⁴⁰ · 10⁸⁰ = 10¹²⁰.

Gierer deutet sie als Obergrenze kosmologisch möglicher Prozesse und als Höchstzahl der innerkosmisch (mit der Physik des Kosmos) realisierbaren Operationen:

Ein Computer, der so groß und so alt wäre wie das ganze Universum, der seit seinem Bestehen ununterbrochen rechnen würde und dessen Bauelemente einzelne langlebige Elementarteilchen wären, könnte bis heute höchstens 10¹²⁰ Operationen ausgeführt haben - nämlich die Anzahl der elementaren Bausteine (10⁸⁰) multipliziert mit dem Alter der Welt in Elementarzeiten (10⁴⁰). Das Alter der Welt geht deshalb in die Abschätzungen ein, weil jedes Bauelement - jedes Elementarteilchen also - nur an höchstens einer Operation pro Elementarzeit beteiligt sein kann; wären es mehr, so wäre die Stabilität des Bauelements in Frage gestellt, der Computer wäre nicht mehr verläßlich. (Gierer, S. 54)

Darauf läßt sich eine “finitistische” Erkenntnistheorie aufbauen. Als erkenntnistheoretische Konsequenz aus der Höchstzahl realisierbarer Operationen im Kosmos ergibt sich, daß auch die Zahl der Schritte bei der Analyse von Problemen prinzipiell begrenzt ist - seien es gedankliche Schritte oder Schritte der Informationsverarbeitung durch Computer. Insbesondere ist die Anzahl der Möglichkeiten grundsätzlich beschränkt, die man einzeln nacheinander prüfen kann, um die allgemeine Gültigkeit einer Aussage zu beweisen oder zu widerlegen. (Gierer, S. 55).

Dieses Wissen um die Grenzen objektiven Wissens, die sich besonders beim Problem des Bewußtseins zeigen, kann auch als eine Aufforderung zu einer kreativen Sinngebung des Lebens verstanden werden. (Alfred Gierer, Klappentext).

1 b.

Eine Zahl der Größenordnung 10¹²⁰ ergibt sich auch auf einem anderen Wege, nämlich als Zahl der >Uralternativen< in einer axiomatischen Begründung der Quantentheorie durch C. F. von Weizsäcker in: Die Einheit der Natur. (Gierer, S. 301)

"Elementarteilchen" müssen aus letzten Objekten aufgebaut sein. ... Die Raumkrümmung bedeutet eine Quantelung des Impulses. Das einzelne Urobjekt entspricht einem Teilchen mit minimalem Impuls; es ist also im Weltraum nicht lokalisiert. Nehmen wir einen Weltradius von R=10⁴⁰ nuklearen Längeneinheiten an, so müßte ein Teilchen von nuklearem Impuls oder ein Teilchen, das in einem Kern lokalisiert werden kann, aus etwa 10⁴⁰ Urobjekten bestehen. Die Gesamtzahl der Urobjekte im Universum könnte man versuchsweise gleichsetzen mit der Anzahl von bits von Information, die im Unniversum möglich sind. Nehmen wir einfachheitshalber nur eine einzige Sorte von Elementarteilchen an, z.B. ein Nukleon mit Fermi-Statistik, so können wir schätzen, es gebe im Weltraum soviele bits wie es in ihm Zellen von nuklearer Größe gibt, deren jede besetzt oder leer sein kann. Diese Anzahl ist N = R³ = 10¹²⁰. ... Wenn ein Nukleon aus R Urobjekten besteht, dann müßte es R² = 10⁸⁰Nukleonen in der Welt geben. Ich wage nicht, die gute Übereinstimmung dieser Zahl¹ als Bestätigung einer Hypothese zu nehmen, die nicht hinreichend ausgearbeitet ist.
a
Anmerkung 1: 10⁸⁰Nukleonen in 10¹²⁰ Elementarzellen bedeutet im Mittel 10^-40Nukleonen pro Elementarzelle, d. h. 10^-1 Nukleonen pro cm ³,was ganz roh der kosmischen Materiedichte entspricht.
(von Weizsäcker, S. 271-172)

Meine Erläuterung hierzu:

Δp · Δx = h

In nuklearen Einheiten (h=1) ist die Impulsunschärfe eines Urobjektsmit der Ortsunschärfe Δx=R

Δp = 1/R = 10^-40

Lokalisierung eines Elementarteilchens (Impuls P=n·p) im Kern (Δx=1 LE, ΔP=n·Δp)

ΔP · 1 = 1

erfordert n=10⁴⁰ Urobjekte pro Elementarteilchen.
Das Volumen V des Universums beträgt rund V = R³ = (10⁴⁰)³ = 10¹²⁰ nukleare Volumeneinheiten.

Siehe auch:

"Die Eddington-Dirac-Wunderzahl "

Neuere Überlegung zur Physik Schwarzer Löcher, basierend auf Gravitation, Thermodaynamik und Quantentheorie stellen einen Zusammenhang her zwischen der Größe ihrer Oberfläche (gemessen in Quadrat-Plancklängen) und ihrer Entropie (Bekenstein).

Bildquelle:scholarpedia

Eine elementare Herleitung findet man in L. Susskind: Der Krieg um das Schwarze Loch, Seite 178-180, mit dem Ergebnis (S. 181-182):

Die Entropie eines Schwarzen Lochs, gemessen in Bits, ist proportional zur Fläche seines Horizonts, gemessen in Planck-Einheiten.
Oder knapper:
Information gleich Fläche.

Formal lässt sich das gesamte Universum als Schwarzes Loch auffassen, da sein Radius von gleicher Größenordnung wie der Schwarzschild-Radius eines Schwarzen Lochs mit der Gesamtmasse des Universums ist (siehe Tabelle Zeilen 4 und 10).

Eine Zahl in der Größenordnung 10¹²⁰ ergibt sich ebenfalls, wenn man die Oberfläche des Universums (bzw. der Kugel mit seinem Schwarzschild-Radius) in Einheiten der Planck-Fläche misst (Tabelle Zeile 14):

Eine Abschätung der physikalischen Größe "Wirkung", des Produkts aus Energie und Zeit, für das gesamte Universum (Zeile 8) führt ebenfalls auf etwa 10¹²⁰, wenn man sie in Einheiten des Planckschen Wirkungsquantums h misst (Zeile 10):

Die reziproke Dichte des Universums (gemessen in Planck-Volumina und Planck-Massen) hat ebenfalls einen Wert in der Größenordnung (Zeile 10):

10¹²⁰